Стандартная ошибка пропорции: формула и пример
Часто в статистике нас интересует оценка доли людей в популяции с определенной характеристикой.
Например, нас может заинтересовать оценка доли жителей определенного города, поддерживающих новый закон.
Вместо того, чтобы ходить и спрашивать каждого жителя, поддерживают ли они закон, мы вместо этого собираем простую случайную выборку и выясняем, сколько жителей в выборке поддерживают закон.
Затем мы рассчитали бы долю выборки (p̂) как:
Пример формулы пропорции:
р̂ = х / п
куда:
- x: количество лиц в выборке с определенной характеристикой.
- n: общее количество лиц в выборке.
Затем мы использовали бы эту пропорцию выборки для оценки доли населения. Например, если 47 из 300 жителей выборки поддержали новый закон, то выборочная доля будет рассчитана как 47/300 = 0,157 .
Это означает, что наша наилучшая оценка доли жителей в населении, поддержавших закон, будет равна 0,157 .
Однако нет никакой гарантии, что эта оценка будет точно соответствовать истинной доле населения, поэтому мы обычно также рассчитываем стандартную ошибку доли .
Это рассчитывается как:
Стандартная ошибка формулы пропорции:
Стандартная ошибка = √ p̂(1-p̂) / n
Например, если p̂ = 0,157 и n = 300, то мы рассчитали бы стандартную ошибку пропорции как:
Стандартная ошибка пропорции = √ 0,157 (1-0,157) / 300 = 0,021
Затем мы обычно используем эту стандартную ошибку для расчета доверительного интервала для истинной доли жителей, поддерживающих закон.
Это рассчитывается как:
Доверительный интервал для формулы доли населения:
Доверительный интервал = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n
Глядя на эту формулу, легко увидеть, что чем больше стандартная ошибка пропорции, тем шире доверительный интервал .
Обратите внимание, что z в формуле — это z-значение, которое соответствует популярным вариантам выбора уровня достоверности:
| Уровень достоверности | z-значение | | --- | --- | | 0,90 | 1,645 | | 0,95 | 1,96 | | 0,99 | 2,58 |
Например, вот как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной доли жителей города, поддерживающих новый закон:
- 95% ДИ = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n
- 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96 * √ 0,157 (1-0,157) / 300
- 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
- 95% ДИ = [0,10884, 0,19816]
Таким образом, с уверенностью 95% можно сказать, что истинная доля жителей города, поддерживающих новый закон, составляет от 10,884% до 19,816%.
Дополнительные ресурсы
Стандартная ошибка калькулятора пропорций
Доверительный интервал для калькулятора пропорций
Что такое доля населения?